Enfoque
Disponer de los saberes que se estudian. ¿Qué significa hacer matemáticas?
La matemática que se enseña en la escuela debe ser una matemática con sentido, que permita a los jóvenes conocer y aprender los conceptos fundamentales y también conocer y practicar las actividades propias de esta ciencia, su forma de proceder, de obtener nuevos resultados, de validarlos.
Hacer matemáticas significa justamente hacerlas, construirlas, producirlas. No se trata de reinventar en el ámbito de la secundaria la matemática que ya existe, sino de involucrar a los estudiantes en un proceso en el que su actividad tenga el mismo sentido que tiene para los matemáticos, tarea que es posible para todos cuando se proporcionan las condiciones adecuadas.
“Hacer matemática es un trabajo del pensamiento, que construye conceptos para resolver problemas, que plantea nuevos problemas a partir de los conceptos así construidos, que rectifica los conceptos para resolver esos nuevos problemas, que generaliza y unifica poco a poco esos conceptos en universos matemáticos que se articulan entre ellos, se estructuran, se desestructuran y se reestructuran sin cesar”(Charlot, 1986).
La representación de los objetos matemáticos. ¿Cómo avanzar hacia la interpretación del lenguaje?
Una característica distintiva de los objetos matemáticos es que no es posible acceder a ellos mediante los sentidos, como lo es para los objetos denominados “reales” o “físicos”, sino exclusivamente a través de sus representaciones.Y es solamente por medio de la producción de representaciones semióticas que es posible realizar una actividad sobre los objetos matemáticos, tanto en la producción a nivel de la ciencia como en la actividad escolar. Entre las distintas representaciones, es necesario considerar no sólo las expresiones simbólicas propias de la disciplina, sino también otras icónicas, y las derivadas de las representaciones mentales y expresiones lingüísticas utilizadas para referirse a ellos.
Duval (2004) identifica distintos tipos de registros de representación, cada uno con sus propios símbolos y reglas, que se ponen en juego durante la actividad matemática y cuya manipulación implica no sólo su producción y tratamiento en un registro sino muchas veces la necesidad de pasar de uno a otro en función de la situación, pues en muchos problemas la resolución resulta dificultosa o no puede realizarse en el registro en el que los objetos están representados originalmente, y es necesario realizar una conversión. Trabajar en otro marco semiótico implica un cambio de perspectiva, mirar el problema desde otro ángulo, advertir relaciones que permanecían ocultas en el registro original.
Al proponer en la clase actividades de producción y validación, los alumnos usan para resolver los problemas diversas representaciones de las ideas que van desarrollando. Estas formas propias, originales, no siempre se ajustan a formas convencionales, con lo que será necesario que, a posteriori, el docente incluya estas últimas buscando ponerlas en relación con las producidas por los estudiantes. Es central para la formación matemática de los alumnos, poder diferenciar entre un objeto matemático y sus representaciones y dominar los distintos registros, para lo cual es importante trabajar en la clase con cada uno de ellos y debatir en cada oportunidad sobre las relaciones entre los símbolos en los distintos registros. Es el modo en que se favorece un tratamiento comprensivo de los objetos y un avance en el uso del lenguaje propio de la disciplina.
La Modelización. ¿Qué significa modelizar en la actividad matemática?
El término “modelización” usualmente hace referencia a la tarea de construcción de modelos. Para referirse a esta tarea, Acuña y Saiz señalan: “Un aspecto esencial de la actividad matemática consiste en construir un modelo matemático de la realidad que se quiere estudiar, trabajar con dicho modelo e interpretar los resultados obtenidos en ese trabajo para contestar a las cuestiones planteadas inicialmente. Gran parte de la actividad matemática puede identificarse con una actividad de modelización matemática”. La “realidad que se quiere estudiar” puede referirse a una cuestión “externa” a la matemática, relativa a una ciencia natural o social, o a la tecnología, pero también a una cuestión “interna”, relativa a objetos propios de la matemática.
En la tarea de modelización hay dos tipos de construcción. Por un lado, podemos referirnos a aquella que fue realizada por los expertos de una comunidad científica y que diera como resultado los modelos y teorías que forman parte de la ciencia que esa comunidad estudia. Por otro lado, desde la enseñanza nos interesa señalar la tarea reconstructiva por parte de los estudiantes de esos modelos quienes construyen estos modelos en el sentido de que llegan a ellos por medio de su propia tarea exploratoria y argumentativa, guiados por cada docente.
La tarea de construcción de modelos en la escuela se genera frente a diversas cuestiones a resolver cuando los estudiantes deben producir soluciones propias y validarlas en la comunidad de la clase con argumentos adecuados. Cuando se le presenta el problema a resolver, el alumno inicia una actividad de búsqueda de una solución y avanza con ella para ver si llega a una respuesta adecuada. A veces, mientras resuelve, y otras veces cuando termina, se da cuenta de que el modelo elegido para estudiar el problema no resulta apropiado. Si es así, lo deshecha y prueba con otro. Cuando se asegura de haber encontrado una respuesta que le parece válida, tratará de explicitar sus argumentos de modo de convencer a otros para que la acepten. Finalmente junto al docente reconocerá el conocimiento construido y buscará cómo expresarlo de manera adecuada para luego usarlo en nuevas situaciones.
Hacia el control y la autonomía. ¿A qué llamamos validación y por qué es necesaria?
En un proceso de producción de soluciones a problemas, la revisión de lo realizado por parte de quien elaboró las respuestas, le permite asegurarse de que son adecuadas para las preguntas planteadas, controlar lo realizado e identificar las razones que las justifican. La práctica de la validación es vital para avanzar hacia un uso autónomo de la matemática conocida pues sólo puede argumentar a favor de lo que hizo quien usa lo que sabe en forma adecuada y oportuna. Por lo tanto, es central que forme parte de la enseñanza.
La búsqueda de razones, la producción de pruebas, de explicaciones aceptadas en una comunidad, que puedan asegurar la verdad o falsedad de una afirmación, adquiere en matemática una característica particular. Son las demostraciones las que sostienen “que los enunciados matemáticos pueden atravesar los siglos, trascender las culturas y ser también fácilmente trasmisibles”. Llegar a la producción de breves cadenas deductivas, de demostraciones sencillas en la clase, es un propósito de largo plazo.
Al pensar en la enseñanza, son los trabajos de Balacheff (2000) sobre la producción de pruebas, los que muestran ejemplos de estos procesos y le permiten identificar distintos tipos de pruebas. Al inicio los alumnos producen pruebas que él denomina “pragmáticas”, más particulares, ligadas a las acciones propias reales o imaginadas sobre los objetos, a las concepciones personales o locales para un tipo particular de objetos. Luego, avanzan en procesos de generalización, tomando distancia tanto de las acciones personales como de los casos particulares, y producen pruebas “intelectuales”.
Incluir en la enseñanza momentos de validación de las producciones y de debate entre distintas razones, la contra argumentación de los compañeros y del docente, hará que los estudiantes revisen sus enunciados, establezcan relaciones con propiedades conocidas, avancen en la elaboración de justificaciones válidas.
La gestión de las clases. Distintos momentos y propósitos.
Para que los jóvenes se involucren en un tipo de trabajo matemático que tenga el mismo sentido que tiene para los matemáticos que producen ideas o procedimientos nuevos, las intervenciones del docente deberían promover en la clase distintas instancias de resolución de problemas y reflexión sobre lo producido. En principio, instancias en las que los estudiantes tomen decisiones sobre el procedimiento a seguir. También otras para el registro y comunicación de lo producido y la elaboración de conclusiones matemáticas, para el control de la razonabilidad de la respuesta y la búsqueda de razones que la justifiquen y para la formulación de nuevas preguntas sobre el alcance de las afirmaciones realizadas.
Dentro de este marco caben las clases de presentación de nuevos temas, para las cuales habrá que seleccionar problemas desafiantes, que apunten a cuestionar conocimientos anteriores y den lugar, sin que medie una explicación previa del docente, a la producción de los nuevos conocimientos sobre los que se quiere trabajar. Después de la resolución de los problemas y del análisis de las producciones, será necesario identificar y formular de manera explícita las conclusiones matemáticas a las que se arribe.
También en este marco caben las clases para la sistematización y reutilización de las conclusiones matemáticas elaboradas, tanto si se trata de analizar la validez de las afirmaciones para nuevos ejemplos, como si hay que volver a usar esas conclusiones en la resolución de nuevos problemas.
Si las actividades que se proponen son para la familiarización con técnicas aprendidas, convendrá hacerlo para un tiempo extra-clase y elegir un limitado número de casos, e incorporando preguntas que permitan encontrar regularidades o contrastes entre ellos. Se trata de sostener un trabajo que no sólo incluya el fortalecimiento de relaciones conocidas sino que dé lugar a la producción de nuevas.
Las conclusiones matemáticas de la clase. ¿A qué llamamos conclusión matemática y por qué es necesaria?
La elaboración de conclusiones orales y escritas es parte de la construcción del conocimiento, en una clase en la que se ha instalado una actividad de producción y validación de conocimientos.
Las conclusiones, comunes para el grupo de la clase, son el producto de la explicitación del conjunto de conocimientos que los estudiantes han podido identificar como los que se usaron para resolver el problema planteado. Al elaborar dichas conclusiones, los conocimientos se descontextualizan de la situación en la que han funcionado. Este proceso es central para reconocer los saberes abordados en esa clase, lo que permitirá poder recurrir a ellos frente a una nueva situación. Si estos saberes no se enuncian, tampoco se podrá relacionar lo que se ha usado con otros conocimientos.
Estas conclusiones pueden referirse, según la situación de la que provengan, a la enunciación de propiedades o relaciones, a las formas de escritura y los vínculos entre ellas, a los distintos repertorios de cálculos numéricos o algebraicos, a las transformaciones numéricas o algebraicas válidas y los argumentos que las sostienen, entre otras.
En todos los casos, la formulación que se realice debe estar en relación con el trabajo de producción realizado por el grupo en la clase. Es importante cuidar que el nivel de generalidad de lo que se afirma sea el que se trabajó en el o los problemas tratados, y respetar los modos de expresión que están circulando en la clase.
Las conclusiones también podrán referirse a “normas” que se aceptan para el trabajo como: “cuando usamos x en una expresión con letras, tenemos que decir qué valores puede asumir”, o “para indicar una multiplicación podemos usar el signo x o no escribir nada como en 4 a b, que indica el producto de 4 por a, por b”, o “cuando decimos que los triángulos isósceles tienen los ángulos de la base congruentes, no escribimos “todos” al inicio”.
El docente elegirá el momento en el que, a partir de las conclusiones de una clase, se avanza en el estudio del ámbito de validez de lo que se ha afirmado, de su generalización. Por ejemplo, se pueden introducir nuevas preguntas para extender el dominio de uso de las propiedades o relaciones enunciadas, considerar una ampliación de las reglas elaboradas, extender un repertorio de igualdades, etc. Este también será el momento de precisar el vocabulario, la notación y de, eventualmente, contrastar distintas formas de expresar este conocimiento en diferentes textos.